タイトルで言いたいことはほぼ言ってしまっているけど、以下補足。
自宅PCで録画した動画を実家PCにコピーしたまでは良かったものの、それをテレビで見ようとすると、あれこれ試行錯誤しなければいけなかったのです。
Serviioについてはこちらのページを参考にしました。
実家PCはWindows 10 Home 64ビットでバージョン1803なのですが、BMS2(Beer Media Server 2)が動かない、いや、ソフト自体は動くんだけど、BRAVIA(Sony製テレビ)が拾ってくれない。BMSのアイコンが出てこないので、そもそもサーバとして認識されていない様子。
調べた限りでは、DLNAサーバとしてWindows Media Player 12も使えるとのことだったけれど、MPEG2-TS形式の動画が再生できないせいか、目的の動画が表示されない。
ちなみにMPEG2-PS形式だとテレビで対応しているとSonyのサイトに書いてあったので、VLC media playerでMPEG2-TSからMPEG2-PS形式に変換したけど、それも表示されず。
動画をエンコードして別の形式にすれば再生できるんだろうけど、そこまでする気力はありません。
ここでBMS2の存在を思い出し、試してみるも上記の通りで認識されず。
手詰まりになってさてどうしよう、と思ってググってみると、上記のページが引っ掛かり、Serviioの情報を見つけたという次第です。
Serviioは有料のソフトなのですが、PCの動画をテレビで見るくらいであれば無料版で十分対応できました。トランスコード機能があるので、本来テレビ側で対応していない動画形式でも対応できてました。ちなみにServiioのサイト（英語）はこちら。
お困りの方、今すぐ動画をテレビで見たい（という奇特な）方はお試しあれ。